Antes de de resolver la E.D.O que estamos estudiando, recordemos un último concepto que nos resultará útil:
3. Vectores y valores propios
Se dice que $v_{n\times1}\neq 0$ es un vector propio de $A_{n\times n}$ si $Av=\lambda v$ donde $\lambda$ es un escalar al que se lo llama valor propio. A partir de esto podemos decir lo siguiente:
(a) Si se reordenan términos $(A-\lambda I)v=0$
(b) Además como por definición $v_{n\times1}\neq 0$, entonces $\det(A-\lambda I)=0$, expresión que nos proporciona un método para calcular los valores propios de una matriz.
(c) Como al calcular el determinante se obtiene un polinomio de grado $n$, este a los más podrá tener $n$ soluciones reales, es decir tendrá $p$ valores propios tal que $p\leq n$
Ejemplo: Calcular los vectores y valores propios de $A=\begin{pmatrix}0&1\\2&1\end{pmatrix}$.
Como primer paso determinemos los valores $\lambda$ que cumplen $\det(A-\lambda I)$, de la siguiente manera:
$$
\begin{aligned}
\det\begin{pmatrix}-\lambda&1\\1&1-\lambda\end{pmatrix}&=0\\
\lambda^2-\lambda-2&=0
\end{aligned}
$$
de donde se obtienen dos valores propios $\lambda_1=2$ y $\lambda_2=-1$
Como segundo paso entraremos los vectores propios $v_1$ y $v_2$ asociados a los valores propios calculados anteriormente, usado la definición $Av_i=\lambda_iv$:
$$
\begin{aligned}
(A-\lambda_1I)v_1 &=0&(A-\lambda_2I)v_2 &=0\\
\begin{pmatrix}-2&1\\2&1-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1\\b_1\end{pmatrix}&=0&\begin{pmatrix}1&1\\2&1-(-1)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_2\\b_2\end{pmatrix}&= 0\\
\Rightarrow\begin{pmatrix}a_1\\b_1\end{pmatrix}&=c_1\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}&\Rightarrow\begin{pmatrix}a_2\\b_2\end{pmatrix}&=c_2\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\\
\end{aligned}
$$
por lo tanto se ontiene que $v_1=c_1\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ y $v_2=c_2\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$ con $c_1,c_2$ constantes de proporcionalidad.
4. Una solución elemental a la E.D.O. matricial lineal de primer orden
Veamos que sucede si tenemos la siguiente ecuación diferencial matricial:
$$
\frac{\text{d}X_{n\times 1}}{\text{d} t}=A_{n\times n}X_{n\times 1}
$$
donde la matriz $A$ esta formada por parámetros constantes y $X$ por funciones que pueden depender de un parámetro $t$ y el operador $\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}$ se define aplicado a cada una de las componentes de la matriz sobre la cual actua, esto para que siga siendo un operador lineal.
Por lo visto en (1) podríamos pensar que $X=\exp(At)V$ con $V$ un vector constante es una solución fundamental de la ecuación diferencial, ¿pero será correcta esa afirmación? ... notamos que en efecto lo es ya que por lo visto en (2) y las propiedades de la exponencial de una matriz, se tiene lo siguiente:
$$
\dfrac{\text{d}X}{\text{d}t}=A\exp(At)V
$$
y al reemplazar en la ecuación diferencial matricial ese valor y el valor de $X$, vemos que efectivamente se cumple la igualdad, por tanto esa será una solución elemental para esa E.D.O. matricial, que además sería la única por ser una E.D.O. de primer orden.
Ya conociendo esto último podemos intentar darle una forma menos intimidante a $X=\exp(At)V$ ya que calcular el valor de una exponencial de una matriz no siempre es facil, para ello tomaremos en cuenta que $A=\lambda I+(A-\lambda I)$ con $\lambda$ un valor propio de $A$, luego:
$$
\exp(At)V=\exp(\lambda It)\exp[(A-\lambda I)t]V
$$
lo que tomando en cuenta que $\exp(\lambda It)=\exp(\lambda t)I$ y usando la definición para la exponencial de una matriz en $\exp[(A-\lambda I)t]$, se tiene lo siguiente:
$$
\exp(At)V=\exp(\lambda t)\sum_{s=0}^\infty\frac{(A-\lambda I)^st^s}{s!}V
$$
entre todos los posibles sistemas de $n$ vectores linealmente independientes, que son infinitos, nos iteresan aquellos que hagan que $\exp(tA)V$ sea expresable analíticamente de forma sencilla, veamos que pasa si elegimos un vector $\displaystyle V=v$ tal que $v$ sea el vector propio de $A$ asociado al valor propio $\lambda$, entonces al reemplazar $v$ en la expresión anterior se tiene lo siguiente:
$$
\begin{aligned}
\exp(At)V&=\exp(\lambda t)\sum_{s=0}^\infty\frac{(A-\lambda I)^st^s}{s!}V\\
&=\exp(\lambda t)\sum_{s=0}^\infty\frac{(A-\lambda I)^st^s}{s!}v\\
\end{aligned}
$$
ahora si tomamos en cuenta que $(A-\lambda I)v=0$ para la expresión anterior se cancelan todos los términos salvo cuando $s=0$, y se obtiene lo siguiente:
$$
\begin{aligned}
\exp(At)V&=\exp(\lambda t)v
\end{aligned}
$$
se ha obtenido una solución para la E.D.O. y si consideramos todos los $p$ vectores propios de $A$ podemos ver que las soluciones obtenidas a partir de ellos son L.I. y por lo tanto la combinación lineal de ellos también sería una solución elemental de la E.D.O.:
$$
X=\sum_{k=1}^pa_k\exp(\lambda_k t)v_k
$$
luego si $p=n$ la $E.D.O.$ ya estaría resuelta, pues se habrían encontrado $n$ soluciones L.I. para la E.D.O, pero
¿que sucede si $p\leq n$? (recordemos que en general el número de vectores propios L.I. de una matriz es menor que su grado)
¿Cómo calculamos los $n-p$ vectores faltantes de modo tal que sean L.I. con cada uno de los $p$ vectores propios de $A$ para así poder obtener $n$ vectores L.I. mediante los cuales se expresará la solución general de le E.D.O.?
... eso se explicará en la siguiente entrada relacionada con este tema.
¿que sucede si $p\leq n$? (recordemos que en general el número de vectores propios L.I. de una matriz es menor que su grado)
¿Cómo calculamos los $n-p$ vectores faltantes de modo tal que sean L.I. con cada uno de los $p$ vectores propios de $A$ para así poder obtener $n$ vectores L.I. mediante los cuales se expresará la solución general de le E.D.O.?
... eso se explicará en la siguiente entrada relacionada con este tema.
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