E.D.O. lineal, homogénea y de coeficientes constantes (I)

En física, la dinámica de una partícula se estudia a partir de la segunda ley de Newton por lo que es inevitable encontrarse con ecuaciones diferenciales de segundo orden como por ejemplo:

$$ \begin{aligned} x''+bx&=0\\ x''+ax'+bx&=0 \end{aligned} $$

esas dos ecuaciones de movimiento corresponden respectivamente a un movimiento armónico simple, es decir cuando la partícula se encuentra sometida a una fuerza recuperadora ($f_e=-bx$) y un movimiento armónico simple amortiguado, es decir cuando además de la fuerza recuperadora hay una fuerza de fricción que es proporcional a la velocidad ($f_r=-ax'$), además ecuaciones similares se encontrarán en muchs otros casos como por ejemplo estudiando la dinámica de muelles acoplados o el comportamiento de la corriente eléctrica a través de un circuito eléctrico con componentes RC.

Por ello es importante encontrar alguna forma de solucionar ese tipo de ecuaciones, las cuales son un caso particular de las conocidas como ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, homogéneas y de coeficientes constantes y tienen la siguiente forma:

$$x^{(n)}+a_{n-1}x^{(n-1)}+\dots+a_1x'+a_ox=0$$

donde $\displaystyle x^{(k)}=\dfrac{\text{d}^kx}{\text{d}t^k}$ para $k=0,1,\dots,n$ y $a_0,a_1,\dots,a_n$ son coeficientes constantes.

El método de solución que se mostrará a continuación es de carácter matricial, y antes de presentarlo es necesario aclarar y recordar algunas cosas para poder comprender este método de solución.

1. Solución a la E.D.O. $\mathbf{x'=ax}$

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Esta ecuación aunque sea una de las más inocentes y sencillas de resolver será de mucha utilidad, y aunque es fácil puede resultar no tan trivial para aquellos que están empezando, se soluciona de la siguiente manera:

$$ \begin{aligned} \dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}&=ax\\ \Rightarrow\int\dfrac{\text{d}x}{x}&=a\int\text{d}t\\ \Rightarrow\ln x+k&=at\\ \Rightarrow\exp(\ln x+k)&=\exp(at)\\ \Rightarrow x\exp(k)&=\exp(at)\\ \Rightarrow x&=\underbrace{\left(\dfrac{1}{\exp(k)}\right)}_{c}\exp(at)\\ \end{aligned} $$ por lo tanto $x=c\exp(at)$ es una solución fundamental de $x'=ax$

2. Exponencial de una matriz

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Para facilitar la solución de la E.D.O. que estamos estudiando definiremos un objeto matricial en analogía con el desarrollo en Taylor para la función exponencial real centrada en cero:

$$ \exp(a)=1+a+\frac{a^2}{2!}+\frac{a^3}{3!}+\dots=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{a^k}{k!} $$

a ese objeto lo llamaremos exponencial de una matriz y para una matriz $A=A_{n\times n}$ (matriz cuadrada de orden $n$) se definirá de la siguiente manera:

$$ \exp(A)=I_n+A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\dots=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^k}{k!} $$ en donde hay que notar que que $A^0=I_n$ (matriz identidad de orden $n$).

Propiedades

Ahora veamos que propiedades cumple ese objeto anteriormente definido, para ello consideremos dos matrices cuadradas $A$ y $B$ de orden $n$ que conmutan, es decir $AB=BA$, luego:

(a) Ya que $A$ conmuta con cada uno de los términos que conforman la serie de $\exp(A)$ luego también conmutará con la suma de ellos es decir $A\exp(A)=\exp(A)A$

(b) También se puede demostrar que $\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B)$, de la siguiente manera
$$ \begin{aligned} \exp(A)\exp(B)&=\left(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{A^n}{n!}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{B^n}{n!}\right)\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}\dfrac{A^k}{k!}\dfrac{B^{n-k}}{(n-k)!}\right)\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\color{blue}{\sum_{k=0}^{n}}\dfrac{\color{blue}{C^n_kA^kB^{n-k}}}{n!}\right)\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{\color{blue}{(A+B)^n}}{n!}\\ &=\exp(A+B) \end{aligned} $$

donde se ha usado el binomio de newton en la tercera linea, donde $\displaystyle C^n_k$ es la combinatoria de $n$ en $k$ y viene dado por $C^n_k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$

(c) Como consecuencia inmediata de (b) se puede ver que $\exp(A)$ es no singular y su inversa es $\exp(-A)$ es decir $\exp(A)\exp(-A)=I_n$

(d) Si se considera que $\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}$ se aplica a la exponencial de una matriz $tA$, con $t$ una variable real se tiene lo siguiente:

$$ \begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}t}(\exp(tA))&=\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(tA)^k}{k!}\right)\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{(tA)^k}{k!}\right)\\ &=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{kt^{k-1}A^k}{k!}\right)\\ &=A\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(tA)^{k-1}}{(k-1)!}\\ \end{aligned} $$ por lo tanto $\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\exp(tA)=A\exp(tA)$